GEORG CANTOR
BIOGRAFÍA:
(San Petersburgo, 1845 - Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. El joven Cantor permaneció en Rusia junto a su familia durante once años, hasta que la delicada salud de su padre les obligó a trasladarse a Alemania. En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle.
Partiendo de las deas contenidas en ua obra póstuma de Bernhard Bolzano, Paradojas de lo infinito (1851), en 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño».Cantor consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879.
Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884.
Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de exepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna. Murió en una institución mental.
APORTES A LA MATEMÁTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS:
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; y, junto con la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
CONJUNTO DE LOS NATURALES:
Representado por el continuo de los puntos de una recta; dicho conjunto no es numerable. Si lo fuera, los números reales entre 0 y 1, por ejemplo, podrían ser biunívocamente emparejados, uno a uno, con los números enteros. Cada número real de la lista está representado por un número decimal ilimitado. (Los decimales infinitos como 0,5000... han de ser representados por otro decimal infinito, tal como 0,4999...) Independientemente de la ordenación que se dé a una tal lista de números decimales ilimitados, siempre puede ser construido un nuevo decimal que defina un número real no contenido en ella: como primera cifra decimal del número a construir se escribe un 9 si es que el primer decimal del número que encabeza la lista es un 1; de no ser así, se escribe un 1.
A
continuación se cambia la segunda cifra decimal del segundo número real; después, la tercera del tercero, y así sucesivamente. El número decimal de esta forma construido representa un número real comprendido entre 0 y 1, y que habrá forzosamente de diferir al menos en una cifra decimal de cada uno de los números de la lista. Por tanto, la hipótesis de que los números reales puedan ser biunívocamente emparejados con los números enteros conduce a contradicción. La idea clave de esta demostración es conocida por "método de diagonalización".
CONJUNTO INFINITO:
De los números racionales: es decir, de los números expresables como cociente de dos números enteros. Puede parecer mucho mayor que el conjunto de los números enteros. Por ejemplo, entre dos enteros consecutivos, así 0 y 1, hay una infinidad de números racionales.
No obstante, Cantor mostró en el año 1874 de qué forma podían los números racionales ser emparejados biunívocamente con los números enteros. Cada número racional se halla encuadrado en la formación de la figura; a cada número racional puede entonces asociársele un número entero conforme se va recorriendo la trayectoria señalada con flechas de color. Así pues, el conjunto de los números racionales es numerable.CONJUNTOS TRANSFINITOS :
La naturaleza del infinito ha sido siempre objeto de controversia. Las famosas paradojas de Zenón de Elea, quien explicó con inquietante lucidez que el movimiento es imposible, porque exige que el móvil pase por una infinidad de puntos en un tiempo finito, suscitaron ya el problema en la antigüedad. El éxito de la física newtoniana es en gran parte consecuencia de haber introducido Newton el cálculo de tasas de variación de lo infinitamente pequeño, y ello a pesar de que durante más de 200 años no pudo ofrecerse una formulación matemáticamente rigurosa de esta idea, cuya eficacia es tan grande cuan delicado su manejo. En tiempos modernos han aparecido nuevos problemas asociados con el infinito en la teoría de conjuntos abstractos, teoría que proporciona fundamento y cimentación a prácticamente la totalidad de las matemáticas contemporáneas.
La obra a la que Cantor dedicó su vida es, en substancia, bien conocida. Al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. No todos los conjuntos infinitos son de igual tamaño; por consiguiente, es posible establecer comparaciones entre ellos. El conjunto de todos los puntos de una recta, por ejemplo, y el conjunto de todos los números fraccionarios son, ambos, conjuntos infinitos. Demostró que, en un sentido bien definido, el primero de tales conjuntos es de tamaño mayor que el segundo. Resultaron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos las ideas de Cantor, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", "renegado" y "corruptor de la juventud".
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